文章來源：公眾號“中國激光雜志社”

物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合深度學(xué)習(xí)與物理定律，在解決非線性偏微分方程方面展現(xiàn)出高效與精準(zhǔn)的優(yōu)勢，尤其在復(fù)雜系統(tǒng)的模擬與預(yù)測中表現(xiàn)突出。然而，其在國內(nèi)眼鏡片設(shè)計(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用尚屬初探，為此，上海理工大學(xué)莊松林院士、張大偉教授領(lǐng)導(dǎo)的超精密光學(xué)制造創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)下屬視光學(xué)課題組提出了一種基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (PINN) 求解非線性偏微分方程設(shè)計(jì)漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片的方法。

研究背景

漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片設(shè)計(jì)的控制方程是一個(gè)與矢高分布及其一階偏導(dǎo)和二階偏導(dǎo)有關(guān)的復(fù)雜非線性偏微分方程。近年來，物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（PINN）作為一種新興的深度學(xué)習(xí)方法，已經(jīng)在多種科學(xué)和工程問題上展現(xiàn)出解決偏微分方程的巨大潛力。PINN將控制方程作為網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的一部分，能夠高效地學(xué)習(xí)復(fù)雜物理問題的近似解。因此，將PINN引入鏡片設(shè)計(jì)領(lǐng)域，為偏微分方程求解提供了新思路，為提高求解效率、加速收斂速度提供了新途徑。

PINN解偏微分方程設(shè)計(jì)漸進(jìn)鏡片

文章提出了一種基于PINN的漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片偏微分方程模型求解方法。該方法將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與鏡片的物理光學(xué)模型相結(jié)合，建立一個(gè)全卷積網(wǎng)絡(luò)模型，通過對網(wǎng)絡(luò)輸出的矢高矩陣在不同方向上進(jìn)行自動(dòng)微分操作，構(gòu)建一個(gè)能夠量化漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片非線性偏微分方程殘差的損失函數(shù)；同時(shí)通過計(jì)算施加邊界條件后的殘差進(jìn)行約束；最后在迭代過程中最小化多個(gè)約束條件的損失函數(shù)來更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)（權(quán)重和偏置）。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)收斂時(shí)，模型能夠輸出優(yōu)化的鏡片矢高，實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片矢高的精確求解。

圖1 求解漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片偏微分方程模型的PINN示意圖

其次，分別使用傳統(tǒng)數(shù)值方法和PINN方法設(shè)計(jì)出不同光焦度的6組漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片，并結(jié)合FFV仿真軟件，計(jì)算得到6組鏡片的仿真光焦度和像散分布數(shù)據(jù)，從而評估鏡片的光學(xué)性能。

圖2 漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片偏微分方程的解。從左到右：平均曲率分布、顯示有限差分法求解的矢高（mm）、PINN預(yù)測的矢高分布（mm）和相對誤差分布（mm）

最后分析對比得出：與傳統(tǒng)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的深度學(xué)習(xí)方法相比，PINN方法降低了模型對大量訓(xùn)練數(shù)據(jù)的依賴，能夠更好地理解物理過程，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的解釋性更強(qiáng)。

使用自由曲面機(jī)床對鏡片進(jìn)行加工，得到鏡片實(shí)物，如圖3所示，從光焦度測量圖可以看出：經(jīng)PINN方法設(shè)計(jì)的鏡片遠(yuǎn)用區(qū)可視角為122°，比傳統(tǒng)數(shù)值方法設(shè)計(jì)的鏡片增加了11°。從像散測量圖可以看出：鏡片遠(yuǎn)用區(qū)寬度為24.87 mm，比傳統(tǒng)數(shù)值方法設(shè)計(jì)的鏡片減少0.27 mm；中間通道為4.35 mm，較傳統(tǒng)方法鏡片減少0.83 mm；近用區(qū)寬度為6.45 mm，較傳統(tǒng)方法鏡片減小了0.47 mm。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于PINN求解偏微分方程模型的方法能夠有效地優(yōu)化漸進(jìn)多焦點(diǎn)自由曲面鏡片，而且在一定程度上提升了鏡片的光學(xué)性能。

圖3 PINN設(shè)計(jì)漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片。（a）經(jīng)PINN方法設(shè)計(jì)的鏡片實(shí)物圖；（b）光焦度測量圖；（c）像散測量圖

后續(xù)工作展望

未來的研究將致力于探索更加高效的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與優(yōu)化訓(xùn)練策略，以進(jìn)一步提升PINN在解決光學(xué)設(shè)計(jì)中復(fù)雜非線性偏微分方程時(shí)的計(jì)算性能和精確度。在后續(xù)研究中，將把研究范圍擴(kuò)展至臨床測試階段，通過真實(shí)場景下的用戶反饋深入了解優(yōu)化后的漸進(jìn)多焦點(diǎn)鏡片在日常佩戴中的舒適度、視覺清晰度及適應(yīng)性。 

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